Statistics Centre Group: Simpangan Rata-rata (Mean Deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata. Simpangan rata-rata dihitung dengan formula berikut:

Formula tersebut tentu memenuhi dua kriteria sebelumnya, dihitung dari semua data dan menunjukkan dispersi rata-rata dari mean, tetapi tidak memenuhi kriteria ketiga. Bagaimanapun dispersi dari data, semua perhitungan dengan rumus ini akan selalu menghasilkan nilai nol. Hal ini karena pembilang dari rumus di atas menunjukkan bahwa hasil penjumlahannya akan selalu sama dengan nol.

Terdapat dua cara untuk mengantisipasi masalah ini, keduanya akan menghilangkan tanda-tanda negatif dari perhitungan.

Cara pertama adalah dengan menggunakan formula berikut:

Sampel:

Populasi:

Untuk data yang sudah disusun dalam bentuk tabel frekuensi:

Data Tunggal (tidak di grupkan berdasarkan selang kelas):

Data kelompok (sudah digrupkan berdasarkan selang tertentu):

Simpangan rata-rata yang dihitung dari distribusi frekuensi data yang dikelompokkan menggunakan nilai data perkiraan, bukan data aslinya. Data pewakil tersebut disimbolkan dengan m. Untuk membuat perhitungan dari data yang sudah dikelompokkan kita harus menganggap, bahwa semua nilai dalam sebuah kelas, sama dengan nilai pewakilnya (tanda kelasnya, m_i). Selanjutnya, nilai perkiraan simpangan rata-rata dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Pada formula di atas, pembilangnya akan selalu bernilai positif, karena yang diambil adalah nilai mutlaknya, perhatikan tanda modulus || yang berarti baik hasilnya negatif ataupun positif akan selalu diperlakukan sebagai data positif.

Cara kedua adalah dengan menggunakan jumlah kuadrat dari semua nilai simpangan datanya. Cara ini dikenal dengan istilah Ragam (varians) dan standar deviasi.

Contoh 5

Tentukan nilai simpangan rata-rata pada Contoh 2.

Jawab:

Quiz I: rata-rata =18.27

Quiz 2: rata-rata = 10.82

Quiz 1:

Quiz 2:

Kesimpulan:

Berdasarkan simpangan rata-rata, Quiz ke-2 lebih bervariasi dibandingkan dengan Quiz ke-1. (kesimpulannya berbeda dengan kesimpulan berdasarkan range)

Ragam dan Standar deviasi

Ukuran penyebaran dengan menggunakan perhitungan simpangan rata-rata diperoleh dengan mengabaikan tanda-tanda penyimpangan. Secara matematis hal tersebut tidak benar. Cara kedua, yaitu dengan mengkuadratkan nilai simpangan sehingga nilai negatif berubah menjadi positif. Cara ini lebih tepat. Rata-rata dari jumlah nilai simpangan dikenal dengan ragam (varians). Setelah nilai ragam diperoleh, selanjutnya nilai ragam tersebut diakarkan untuk mendapatkan kembali satuan asal dari variabel tersebut (bukan kg²/petak², tapi kg/petak :-) ) . Cara pengukuran keragaman seperti ini dikenal dengan Standar deviasi.

Standar deviasi populasi disimbolkan dengan σ (baca 'sigma') dan standar deviasi sampel disimbolkan dengan s. Standar deviasi sampel yang baik seharusnya merupakan ukuran yang tidak bias terhadap standar deviasi populasinya, karena kita menggunakan ukuran standar deviasi sampel untuk memperkirakan nilai standar deviasi populasi.

Data pada tabel distribusi frekuensi:

Data Tunggal:

Data kelompok (sudah digrupkan berdasarkan selang tertentu):

Sama seperti pada perhitungan simpangan rata-rata. Standar deviasi dan ragam yang dihitung dari distribusi frekuensi data yang sudah dikelompokkan menggunakan nilai data perkiraan, bukan data aslinya. Data pewakil tersebut disimbolkan dengan m. Untuk membuat perhitungan dari data yang sudah dikelompokkan kita harus menganggap, bahwa semua nilai dalam sebuah kelas, sama dengan nilai pewakilannya (tanda kelasnya, m_i). Selanjutnya, nilai perkiraan standar deviasi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Nilai kuadrat dari standar deviasi dikenal dengan ragam (variance).

Pada teknik analisis varian,

dikenal dengan Jumlah Kuadrat (Sum of Square), dan ragam (varian) dikenal dengan istilah Kuadrat Tengah/Rata-rata Jumlah Kuadrat (Mean Square).

Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun, apabila dalam gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean.

Standar Deviasi memiliki beberapa karakteristik khusus lainnya. SD tidak berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya di tambahkan atau dikurangkan dengan nilai konstan tertentu. SD berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya dikali/dibagi dengan nilai konstan tertentu. Bila dikalikan dengan nilai konstan, standar deviasi yang dihasilkan akan setara dengan hasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan.

Contoh 6

Apabila data nilai Quiz pada contoh 2 diambil dari sampel, tentukan nilai ragam dan standar deviasinya.

Jawab:

Untuk mencari nilai standar deviasi sampel, kita bisa menggunakan salah satu formula berikut:

Formula pertama adalah formula secara definitif. Formula yang direkomendasikan untuk perhitungan secara manual adalah formula yang ke-2. Cara perhitungan dengan formula yang ke-2 bisa di lihat pada contoh 7 dan 8. Pada contoh ini, sebagai latihan, kita gunakan formula yang pertama. Untuk perhitungan dengan formula pertama, kita memerlukan nilai rata-ratanya, sehingga terlebih dahulu kita harus menghitung nilai rata-ratanya.

Quiz I: rata-rata =18.27

Quiz 2: rata-rata = 10.82

Kesimpulan:

Berdasarkan nilai ragam dan standar deviasi, Quiz ke-2 lebih bervariasi dibandingkan dengan Quiz ke-1. (kesimpulannya berbeda dengan kesimpulan berdasarkan range)

Contoh 7

Hitung nilai standar deviasi dan ragam dari tabel frekuensi data tunggal berikut:

No	x_i	f_i
1	70	5
2	69	6
3	45	3
4	80	1
5	56	1
Jumlah	320	16

Jawab:

Untuk kemudahan dalam perhitungan secara manual, kita gunakan formula standar deviasi berikut:

Selanjutnya kita buat tabel seperti pada tabel berikut:

No	x_i	f_i	f_i.x_i	f_i.x_i²
1	70	5	350	24500
2	69	6	414	28566
3	45	3	135	6075
4	80	1	80	6400
5	56	1	56	3136
Jumlah	320	16	1035	68677

Dari tabel tersebut didapat:

n = 16

mean = 1035/12 = 64.69

Standar deviasi:

Contoh 8

Hitung nilai standar deviasi dan ragam dari tabel frekuensi yang sudah dikelompokkan:

Tabel berikut ini adalah nilai ujian statistik 80 mahasiswa yang sudah disusun dalam tabel frekuensi. Berbeda dengan contoh di atas, pada contoh ini, tabel distribusi frekuensi dibuat dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu (banyak kelas = 7 dan panjang kelas = 10).

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i
1	31 - 40	2
2	41 - 50	3
3	51 - 60	5
4	61 - 70	13
5	71 - 80	24
6	81 - 90	21
7	91 - 100	12
	Jumlah	80

Jawab:

Untuk kemudahan dalam perhitungan secara manual, kita gunakan formula standar deviasi berikut:

Selanjutnya kita buat daftar tabel berikut, tentukan nilai tengah kelas/pewakilnya (m_i) dan lengkapi kolom berikutnya.

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i	m_i	f_i.m_i	f_i.m_i²
1	31 - 40	2	35.5	71.0	2520.5
2	41 - 50	3	45.5	136.5	6210.8
3	51 - 60	5	55.5	277.5	15401.3
4	61 - 70	13	65.5	851.5	55773.3
5	71 - 80	24	75.5	1812.0	136806.0
6	81 - 90	21	85.5	1795.5	153515.3
7	91 - 100	12	95.5	1146.0	109443.0
	Jumlah	80	458.5	6090.0	479670.0